La proprietà associativa appare nel contesto dell'algebra e si applica a due tipi di operazioni: addizione e moltiplicazione. Questa proprietà indica che quando ci sono tre o più cifre in queste operazioni, il risultato non dipende dal modo in cui i termini sono raggruppati.
Ciò significa che, indipendentemente da come vengono messi insieme i diversi numeri nell'operazione, l'addizione o la moltiplicazione offrirà lo stesso risultato. Il raggruppamento, quindi, non ha nulla a che fare con il risultato che si ottiene.
In caso di addizione, la proprietà associativa indica che il modo in cui vengono assemblati gli addendi non influisce sul risultato dell'operazione. Vediamo come funziona questa proprietà attraverso un'espressione algebrica e un esempio:
(A + B) + C = A + (B + C)
Sostituendo le lettere con valori numerici, possiamo dimostrare l' uguaglianza indicata dalla proprietà associativa. Se A = 8, B = 5 e C = 4:
(8 + 5) + 4 = 8 + (5 + 4)
13 + 4 = 8 + 9
17 = 17
Lo stesso accade con le moltiplicazioni poiché, in questo caso, il risultato non dipende dal raggruppamento dei fattori. Se continuiamo a lavorare con i valori dell'esempio precedente:
(A x B) x C = A x (B x C)
(8 x 5) x 4 = 8 x (5 x 4)
40 x 4 = 8 x
20160 = 160
Poiché l'applicazione della proprietà associativa in aggiunta e la moltiplicazione non ha alcun effetto apparente, possono sorgere dubbi sulla sua utilità. Ebbene, conoscere questi principi serve a padroneggiare appieno queste operazioni, specialmente se combinate con altre, come la sottrazione e la divisione; Inoltre, negli ultimi due, l'associatività non è soddisfatta ed è per contrasto che possiamo ottenere un uso corretto della matematica.Prendiamo il caso della sottrazione, per capire i limiti della proprietà associativa. Se osserviamo, ad esempio, l'equazione 4-2-6 = x e la risolviamo intuitivamente, eseguendo le operazioni da sinistra a destra, il risultato che otterremo è -4, poiché 4 meno 2 è 2 e 2 meno 6 è effettivamente -4. Ma cosa succederebbe se provassimo ad applicare la proprietà associativa proprio come abbiamo fatto nei casi di addizione e moltiplicazione? Come vedremo di seguito, la realtà è molto diversa con la sottrazione.
Se, invece di sottrarre direttamente ciascuno dei valori, decidiamo di raggrupparli in modo tale da dover sottrarre il risultato di 2 meno 6 da 4, ovvero 4 - (2 - 6) = x, l'equazione restituirebbe 8. Com'è possibile che mettendo solo due parentesi si modifichi il risultato in modo così drastico? Vediamo lo sviluppo dei calcoli passo dopo passo: sottraiamo (2 - 6) e otteniamo -4, quindi l'aspetto dell'equazione diventa 4 - (-4); Prima di procedere è importante ricordare che eliminando le parentesi dobbiamo alterare il segno meno e sostituirlo con un più, ovvero l'equazione finale è 4 + 4, il cui risultato è, in effetti, 8.
Allo stesso modo, se prendiamo l'equazione 24/3/2 = x, il risultato che otteniamo se non ne alteriamo la forma è 4, poiché 24 diviso 3 è 8, che diviso 2 ci dà 4. Se, invece, decidiamo di mettere Testando l'affinità della divisione con la proprietà associativa, ci accorgeremo rapidamente che è nulla. Il risultato di 24 / (3/2) = x è 16, poiché 3 diviso 2 è 1,5 e 24 diviso 1,5 è 16.